武汉大学学报(工学版)   2017, Vol. 50 Issue (3): 327-331

文章信息

孙开畅, 李权, 尹志伟, 齐中新
SUN Kaichang, LI Quan, YIN Zhiwei, QI Zhongxin
基于Rackwitz-Fiessler方法的土石坝漫顶风险数学模型
Mathematical model of overtopping risk for earth-rock dam based on Rackwitz-Fiessler method
武汉大学学报(工学版), 2017, 50(3): 327-331
Engineering Journal of Wuhan University, 2017, 50(3): 327-331
http://dx.doi.org/10.14188/j.1671-8844.2017-03-002

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收稿日期: 2016-12-01
基于Rackwitz-Fiessler方法的土石坝漫顶风险数学模型
孙开畅1, 李权1, 尹志伟1, 齐中新2     
1. 三峡大学水利与环境学院,湖北 宜昌 443002;
2. 中国人民解放军军事经济学院,湖北 武汉 430000
摘要:为更加准确预估土石坝漫顶风险率,在全面考虑洪峰流量、风浪壅高和波浪爬高各不确定性因素的基础上,提出了基于Rackwitz-Fiessler方法的漫顶风险模型算法.通过对土石坝漫顶风险基本定义的转化,引入调洪系数ρ和基于水位流量过程关系提出基于流量关系式的漫顶风险数学模型;在已知不确定性因素的函数分布基础上,采用Rackwitz-Fiessler方法迭代求解土石坝漫顶风险率.实例结果分析表明,该漫顶风险计算模型能较好地反映土石坝漫顶特性,模型方程相比单一考虑洪峰流量不确定性或风浪壅高及波浪爬高不确定性的方法更贴近实际且验证性好.
关键词土石坝    不确定性    漫顶    风险分析    Rackwitz-Fiessler方法    
Mathematical model of overtopping risk for earth-rock dam based on Rackwitz-Fiessler method
SUN Kaichang1, LI Quan1, YIN Zhiwei1, QI Zhongxin2     
1. College of Hydraulic & Environmental Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China;
2. Military Economics Academy of PLA, Wuhan 430000, China
Abstract: In order to estimate overtopping risk rate of earth-rock dam more accurately, the model algorithm based on Rackwitz-Fiessler method is presented by fully considering the uncertainty in flood-peak flow and the uncertainties in wave runup and banked-up water levels. Through the transformation of basic definition for overtopping risk of earth-rock dam, this paper establishes a overtopping risk model of flow relationship formula by introducing flood regulating coefficient and based on stage-discharge process relationship. When the function distributions of uncertain factors are known, Rackwitz-Fiessler method is used to solve overtopping risk rate of earth-rock dam. The results of an example show that the risk calculation model presented by this paper can really reflect the characteristics of earth-rock overtopping well. Comparing to the previous model only considering the uncertainty in flood-peak flow or the uncertainties in wave runup and banked-up water levels, this model equation is more close to engineering practice. It has a better verification.
Key words: earth-rock dam     uncertainties     overtopping     risk analysis     Rackwitz-Fiessler method    

目前我国坝型90%以上采用的是土石坝[1-2],而世界上最高的大坝也为土石坝.随着筑坝高度,尽管筑坝技术不断提升,土石坝的安全性一直存在问题.研究表明,引起土石坝失事主要有洪水漫顶、渗流管涌、边坡失稳和基础塌陷等原因,我国水库由于洪水漫顶造成溃坝约占总数的47.85%,因此针对土石坝对其进行漫顶风险分析显得尤为重要[3-4].而由于水电工程系统的复杂性,导致土石坝漫顶的风险因素很多,如洪峰的不确定性、洪水历时不确定性、泄水建筑物的泄流能力不确定性、风浪壅高和波浪爬高不确定性等,因为这些风险因素,导致土石坝漫顶风险计算复杂[5-8].

目前,对漫顶风险计算的研究较多,主要包括:采用Monte Carlo方法(MC法)考虑洪水和风浪不确定性对土石坝漫顶风险计算及敏感性分析[9];综合考虑水文、水力和施工进度不确定性,利用MC法计算土石坝漫顶风险[10];在数学模型的基础上对施工导流的不确定因素和分布进行探讨,利用Rackwitz-Fiessler方法(R-F法)求解施工导流围堰漫顶风险[11].前人对土石坝漫顶风险的研究大都采用MC法而少有采用R-F法,目前R-F法漫顶风险计算停留在仅考虑水文、水力不确定性或仅考虑风浪不确定性阶段,没有全面考虑水文和风浪不确定性的分析研究.本文综合考虑洪峰、风浪壅高和波浪爬高的不确定性,提出基于流量关系土石坝漫顶风险计算模型并采用R-F法求其漫顶风险率.

1 漫顶风险计算模型研究

漫顶是指坝前水位超过坝顶高程形成溢流的过程.Z代表坝前水位,H代表坝顶高程,则漫顶失事可表示为Z>H,漫顶风险率计算公式为[12-13]

    (1)

式中:Z0为水库的初始水位;L为洪水作用下的水库水位升高值;e为风浪壅高;R为波浪爬高.

针对式(1) 土石坝漫顶风险率模型的定义,计算方法主要为MC法和R-F法这两类[14].MC法计算量大、计算效率低,而R-F法则难以将导致大坝漫顶的不确定因素引入到计算公式当中,因此,土石坝漫顶风险通常转化定义为:在规定的时间内,土石坝泄水建筑物的最大下泄流量超过其设计最大泄水能力的概率,其风险率Pf的数学表达式为[15]

    (2)

式中:qD为泄水建筑物的设计最大下泄流量; qm为洪水调洪演算后泄水建筑物的最大下泄流量.

文献[15]中qm指在最高洪水位Zmax=Z0+L下所对应的最大下泄流量,并没有考虑风浪壅高和波浪爬高的影响.本研究加入了风浪壅高和波浪爬高对泄水建筑物的最大下泄流量qm的影响,即

    (3)
1.1 qm1的计算

根据调洪演算原理[16],逐时段地联立求解水库的水量平衡方程和水库的蓄泄方程,计算某一特定洪水的泄水建筑物最大下泄流量qm,其调洪演算如图 1所示.

图 1 调洪演算示意图 Figure 1 Schematic diagram of study area

图 1Q-t为天然洪水流量过程线,q-t为泄水建筑物泄流过程线.每对于一次最大洪水Qi经典型洪水过程线放大后获得Qi-t,调洪演算后获得泄水建筑物的最大下泄流量qmi,对应每组(Qi, qmi)定义一个调洪系数ρ来描述Qiqmi之间的关系:

    (4)

由水文资料计算可得一系列ρi值,假设调洪系数ρ服从正态分布ρ-N(μ, σ2),则

    (5)

式中:μσ2分别为调洪系数ρ的均值和方差.

则最大下泄流量qm1=ρQm.

1.2 qm2qm3的计算

首先,对溢洪道的堰上水头h和与此相应的调洪水位的库容V的关系进行线性回归,由V=ah+b来确定ΔV与Δh之间的关系:

    (6)

在设计洪水或校核洪水时,假设相应的库容ΔV的均值与ΔQ的均值相等,ΔV的方差与ΔQ的方差相等[17],即EV)=EQ), DV)=DQ).认为在设计洪水或校核洪水时,产生的风浪壅高和波浪爬高从物理角度转化的库容,全部以瞬时添加的待泄库容存在,且转化的库容为瞬时待泄库容.由式(6) 可得:

    (7)

则计算qm2qm2的均值和方差为

    (8)

通过上述分析,土石坝漫顶风险计算模型可表述为

    (9)

式中:洪峰流量Qm、壅高e、波浪爬高R均为变量.

2 漫顶各风险因素分析 2.1 洪峰流量Qm的不确定性

对于洪峰流量的模拟,通常假定其服从P-Ⅲ型分布,概率密度函数和累积分布函数分别为[18-19]

    (10)

式中:α=4/Cs2γ=2/(μQCvCs);a0=μQ(1-2Cv/Cs);αγa0分别为P-Ⅲ型分布的形状、尺寸和位置参数;μQ为年最大洪峰流量系列的均值;Cs为偏态系数;Cv为变差系数.

2.2 风浪壅高e的不确定性

风浪壅高e一般服从极值Ⅰ型分布[20],概率密度函数与累积分布函数分别为

    (11)

式中,ημ均为分布参数,与风浪壅高e的均值μe、均方差σe的关系为

    (12)

其风浪壅高e的均值和均方差可采用如下公式计算:

    (13)

式中:W为风速均值;σw为风速系列的均方差;θ为计算风向与坝轴线法线的夹角,安全起见,一般取θ=0;D为水库的吹程,即风区长度;Hm为水域的平均水深.

2.3 波浪爬高R的不确定性

波浪爬高R一般服从瑞利分布[20],其概率密度函数和累积分布函数为

    (14)

式中, λ为分布参数,其与波浪爬高的均值μR、均方差σR的关系为

    (15)

基于上述表达式,QmeR的不确定性均可用其概率密度函数和累积分布函数表示,因此,可采用R-F法计算土石坝漫顶风险模型.

3 基于R-F法的漫顶风险实例计算

根据以上原理,预测某土石坝10 000 a一遇洪水漫顶风险率:该土石坝为混凝土面板堆石坝,采用岸坡溢洪道进行泄洪.水库所在流域内多东风、静风,多年平均最大风速为W=18 m/s,年最大风速系列均方差σw=2.31 m/s,吹程D=264 m,根据库水文资料知,年最大洪峰流量服从P-Ⅲ型分布,历年最大洪峰流量均值μQ=664 m3/s,偏态系数Cs=2.6,变差系数Cv=0.52,其设计最大下泄流量为qD=3 464 m3/s.

由土石坝漫顶风险计算模型可知,漫顶风险的极限状态方程为

    (16)

式中:ρQmeR分别服从正态分布、P-Ⅲ型分布、极值Ⅰ型分布和瑞利分布.

QmeR为非正态分布,根据R-F法原理,在每一个设计点处需对非正态分布变量进行当量正态化,获得等效正态分布变量的均值和标准差.在设计点处,当量正态化变量的累积分布函数值和概率密度函数值应与原变量累积分布函数值和概率密度函数值分别相同.

当量正态化公式为

    (17)

式中:fXi(·)和FXi(·)分别为变量Xi原来的概率密度函数和累积概率分布函数;φ(·)和Φ(·)分别为标准正态分布下的概率密度函数和累积概率分布函数;μX′iσX′i分别为变量Xi当量正态化后的均值和标准差.

R-F法求可靠指标β[21]:先假设一个β值;对于各参数变量,设计验算点初值一般取其均值xi*=μXi,对非正态变量运用公式(17) 进行当量正态化计算uX′iσX′i;然后计算各参数变量的灵敏系数αi,并由此得出各参数变量的新值xi*=μXiαiβσXi;重复以上步骤一直算到xi*的新值前后两次差值在容许范围内为止,若xi*计算极限状态方程(16) 成立,则假设的β值正确,若极限状态方程(16) 不成立,则假设一个新的β值,并进行下一轮计算,计算出使极限状态方程(16) 成立的β值,且前后两次所得的β差值的绝对值很小(例如≤1×10-6).

灵敏系数αi计算公式如下:

    (18)

由水文统计资料,通过调洪演算和分析,得到泄水建筑物的设计最大下泄流量qD和洪水调洪演算后泄水建筑物的最大下泄流量qm之间的关系,调洪系数ρ服从正态分布:ρ~N(0.869, 0.009),根据水位库容曲线,设计水位时的线性回归参数a=1 135,极限状态方程g(ρ, Qm, e, R)=qD-ρQmaeaR,各变量分布及均值见表 1.

表 1 不确定性变量信息表 Table 1 Information of uncertain variables
变量函数分布类型变量初始验算点(均值)
ρ正态分布0.869
QmP-Ⅲ型分布664 m3/s
e极值Ⅰ型分布0.000 157 m
R瑞利分布0.711 3 m

分别假设不同的可靠指标β值,利用R-F法进行计算,当进行两次β值的迭代计算后,为快速准确地计算得到β值,可利用如下公式计算下一次的β假设值:

    (19)

R-F法迭代计算结果见表 2.

表 2 R-F法迭代计算结果表 Table 2 Iterative calculation results based on Rackwitz-Fiessler method
可靠指标βρQm/(m3·s-1)e/mR/mZ=g(x*)
2.000 0000.869 534 841 189.119 5430.000 150 521.254 133 81 006.406 468 0
2.300 0000.869 497 751 361.364 7570.000 150 521.333 118 7767.035 795 9
3.261 3170.870 918 001 713.890 6420.000 150 521.744 811 0-9.190 153 0
3.249 9350.871 003 001 711.248 0010.000 150 521.739 011 0-0.450 560 0
3.249 3480.871 001 001 711.169 7670.000 150 521.738 659 00.000 047 0

通过假设计算,当可靠指标β=3.249 348时,大坝漫顶的功能函数Z=g(x*)=0.000 047≈0,其漫顶风险为Pf=1-Φ(β)=0.057 8%,即当发生10 000 a一遇的洪水时,该大坝的漫顶风险率仅为0.057 8%,小于大型水库允许的漫顶风险率0.001,在可接受范围内.结果计算表明,当只考虑洪峰流量和波浪爬高的不确定性时大坝的漫顶风险率与同时考虑洪峰流量、风浪壅高和波浪爬高3者不确定性时的风险率几乎相同,可知,风浪壅高的不确定性对漫顶风险的影响很小,而洪峰流量和波浪爬高的不确定性都对土石坝的漫顶风险占有主导作用.

4 结论

1) 本文综合考虑洪峰流量、风浪壅高和波浪爬高的不确定性,对土石坝的漫顶风险进行分析研究,通过对漫顶风险的定义转化,建立了基于流量关系式的风险计算模型;该模型方程较全面地考虑了各种主要不确定性因素,能清晰地反映土石坝漫顶的物理过程,说明在考虑洪峰流量、壅高和爬高3者的不确定性时,该土石坝漫顶风险计算模型是一个理论上合理的计算模型.

2) 模型建立后能采用R-F方法计算土石坝的漫顶风险率,解决了洪峰流量、风浪壅高和波浪爬高不确定性难以同时引入R-F方法的问题;结果表明,严格按规范设计的土石坝漫顶失事的概率很小,计算结果在大型水库万年一遇洪水的漫顶风险率范围内,符合工程实际,模型验证性好,能推广到其他土石坝的风险计算.

3) 引起土石坝漫顶的风险因素多且复杂,本研究基于R-F法同时考虑了对漫顶影响较大的3个因素,提出的计算模型还有待进一步完善.

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