0 引言

近年来，量子点作为比特载体在量子通信和量子计算中扮演很重要的角色。基于半导体量子点的量子计算方案，由于其可操作性及扩展性，深受研究人员的关注，但是在实验上，量子点的退相干时间太短，许多量子操作受限。为解决这些问题，众多研究人员对基于量子点体系的量子调控技术进入了深入的研究。2005年，Petta等^[1]通过量子调控技术将基于半导体量子点中两电子自旋态的相干时间延长至微秒量级。2014年起，Deng等^{[2, 3]}陆续实现了基于两对双量子点之间的耦合和集成的量子点芯片单元。2016年，Cao等^[4]提出新型的量子比特编码方法。2017年，Wang等^[5]实现了半导体量子比特的高效调控。2018年，Landig等^[6]和Mi等^[7]通过实验实现了量子点与光腔的耦合调控。2018年，Li等^[8]设计制备了半导体六量子点芯片并且实现了三量子比特的Toffoli门操作。这一系列基于量子点操作的实现和芯片的制备，为进一步实现量子计算机的信息处理和逻辑运算铺平了道路。然而在实验上处理量子点体系时，实验结果不可避免地会受到环境的影响。

基于此，本文通过数值模拟不同噪声环境，即初态给定，但是在节点上施加不同噪声环境，得到初态的保真度随时间演化的变化趋势，进而探究不同环境对双量子点耦合系统初态保真度的影响，以期利用本文所得数值模拟结果为实验上调控双量子点提供一定的参考。

1 理论模型及演化方程 1.1 双量子点模型

量子点广义上被称为人工原子。它是由禁闭在谐振子势阱中的电子或者空穴构成。从实验的角度来看，量子点可以分为3种：自组织量子点^[9]、界面起伏量子点^[10]、门控量子点^[11]。本文中，只考虑门控量子点，其构成材料为GaAs/GaAlAs，可以通过分子束外延技术^[12]进行生长，然后通过刻蚀，制作欧姆电极、表面大电极、内部小电极等^[13]一系工序可制备得到门控量子点。

图 1(a)为扫描电子显微镜下双量子点的成像。图 1(a)中L和R分别控制左右两边电子的进出；量子点接触(QPC)传感器g_s通过测量左右两个量子点之间电荷变化的相图反映左右两个量子点中的电子数目。左右量子点中的电子个数均用(n，m)的形式表示。

图 1(b)为双量子点演化示意图。如图 1(b)所示，AB、CD是两对双量子点，A和B共享一个纠缠对，C和D共享一个纠缠对。用一个腔作用在B和C量子点上，模拟不同的外界环境对双量子点的影响。此模型是一个T-C模型，其哈密顿量为^[14]：

(1)

其中，第一项表示光场的哈密顿量，第二项表示光场与二能级系统相互作用项，第三、四项表示系统中两对双量子点的哈密顿量。ω₀代表光场的频率，a^†代表光场产生算符，a代表光场湮灭算符，g代表腔场与量子点的耦合强度，ω₂代表量子点A和B的原子频率，ω₃代表量子点C和D的原子频率。σ_i⁺=分别为量子点的上跃算符和下跃算符(i代表A，B，C，D)。为磁场为Z方向时原子布居差算符，ℏ表示约化的普朗克常量。

1.2 初态的制备

通过1.1节所述门控量子点制备方法可以制备多对双量子点(此处本文只考虑包含两个电子的情况)。此时双量子点的电子组态有(0，2)和(1，1)两种情况。对于(0，2)电子组态，它又由4种情况的态构成，分别为:(0，2)_S，(0，2)_T0，(0，2)_T+，(0，2)_T-。由于(0，2)_T态的能量远比(0，2)_S态能量高(高约400 μeV^[1])，故(0，2)_T可以被忽略。在Δ > 0的情况下(Δ代表(1，1)_S与(0，2)_S的能量差)，(0，2)组态的基态为(0，2)_S。对于(1，1)电子组态，同样分为1个单重态(1，1)_S和3个(1，1)_T三重态，通过施加一个合适的磁场可以把(1，1)_T+和(1，1)_T-分开，剩下(1，1)_S和(1，1)_T0。这个过程已经在实验^[1]中成功地实现了。其中，(1，1)_S的概率可以通过QPC技术测量得到。因此根据上述理论可以制备许多对自旋单重态。

1.3 系统哈密顿量的形式以及演化方程

本文中，系统是指两对双量子点和外加环境共同构成的体系。系统演化示意图如图 1(b)所示。研究一个系统的演化，首先要知道系统的哈密顿量以及对应的演化方程。下文将详细介绍不同环境下的系统哈密顿量及演化方程。

1.3.1 不同环境下的系统哈密顿量

1) 光场环境下的系统哈密顿量

当光场环境处于真空态、福克态、相干态、热态和耗散场情况下，系统演化的哈密顿量均为(1)式所示。

2) 随机磁场环境下的系统哈密顿量

当环境处于一个随机磁场时，系统哈密顿量为：

(2)

其中，B₍₂₎和B₍₃₎都是随机分布函数，且本文只考虑Z方向的磁场。

1.3.2 不同环境下的系统演化方程

1) 纯态演化方程

当环境处于真空态、福克态和相干态时，系统演化的方程是薛定谔方程：

(3)

其中，代表系统的初态，代表系统的末态，U表示系统的演化算符，H代表系统的哈密顿量。

2) 混态及随机磁场环境下的演化方程

当环境处于热态及随机磁场环境时，系统演化的方程均是刘维尔方程^[15]：

(4)

其中，ρ_(t)表示t时刻的密度矩阵。

3) 耗散场环境下的演化方程

当环境处于耗散场，系统的演化方程为Lindblad方程^[16]：

(5)

其中，L_D为Lindblad算符，L_μ表示|0〉 → |1〉驰豫过程，L_μ⁺表示|1〉 → |0〉驰豫过程。

2 初态以及保真度

为了详细介绍本文所关心的物理量——保真度，首先给出不同环境下双量子点系统保真度的定义。保真度是指量子态在演化或者传输的过程中，保持初始状态的程度，同时也是量子信息学中的一个重要的概念。通常一个系统的初态或多或少会受到环境的影响，进而导致初态的退相干，也即此时初态的保真度会发生变化。可以通过在实验上施加不同的物理作用，调控初态的演化，以获得我们想要的保真度。下文将给出量子点初态以及处于不同环境下双量子点系统初态和保真度的表达式。

2.1 双量子点的初态

首先给出双量子点的初态表达式：

(6)

其中，直积前后两项分别表示两对双量子点处于自旋单态。其密度矩阵形式为：

2.2 系统的初态及保真度

此节将详细介绍不同环境下，双量子点系统的初态及保真度的表达式。

1) 真空态环境

当环境处于真空态时，系统的初态为：

(7)

末态为：

其密度矩阵形式为：

对环境的维度进行求偏迹，然后与量子点初态求保真度，即为本文所定义的保真度Fidelity，用F表示：

(8)

其中，Tr为对矩阵求迹，ρ₀为系统初态，Tr_p表示对环境维度求偏迹。

2) 福克态环境

当环境处于福克态时，系统的初态为：

(9)

此处取|Fock〉=|2〉(为了简便起见)。

其保真度的具体表达式如(8)式。

3) 相干态环境

当环境处于相干态^[17]时，系统的初态为：

(10)

其中，

|α〉表示相干态，α是|α〉的本征值，C_n为第n项系数。其保真度的表达式如(8)式。

4) 热态环境

当环境处于热态^[17]时，系统的初态为：

(11)

其中，

(12)

(13)

其保真度的定义^[18]为：

(14)

5) 耗散场环境

当环境处于耗散场时，利用Lindblad方程^[16]进行演化，系统的初态为：

(15)

其保真度^[18]的表达式如(14)式所示。

6) 随机磁场环境

当环境处于随机磁场时，系统演化的哈密顿量与其他5种情况不同，且初态就是两对量子点的初态，即：

(16)

其保真度^[18]的表达式如(14)式所示。

3 模拟结果与讨论

本文设置:所有量子点的二能级频率为6.35 GHz；近共振情况下光场的频率为10 GHz；耦合强度g=0.032 GHz；当环境处于耗散场时衰减系数γ=10。另外，本文中演化步长τ=10 ns，演化总时间=演化总步数×步长。

具体的演化步数选取原则是能够总体最大化反映保真度的变化情况。下文数值模拟了真空态、福克态、相干态、热态、耗散场以及外加随机磁场环境下双量子点初态保真度随时间的演化。

1) 真空态环境

图 2为共振和近共振情况下，真空态环境中，双量子点初态保真度随时间的变化曲线。图 2中，gt表示演化尺度，t是演化时间，F(t)表示保真度。由图 2可以看出，当环境处于真空态时，无论量子点频率和驱动场频率共振，或者近共振的情况下，保真度F总的趋势都是一个Rabi振荡。与近共振情况相比，共振情况下保真度变化更剧烈。

2) 福克态环境

由图 3(a)可以看出，当环境处于福克态时，共振情况下，双量子点的初态保真度随着时间的演化有一个尖锐的双峰波动变化，但是每对双峰都有一个相对差。这个变化对应着双量子点吸收和释放光子的变化。如图 3(b)所示，近共振的情况下，双量子点的初态保真度随着时间的演化有一个周期性的波动，但是相邻矮峰值没有出现相对差。这意味着双量子点在腔中演化对应着成对的吸收或者释放光子。

3) 相干态环境

① 平均光子数为2

由图 4(a)可以看出，当环境处于相干态时，共振情况下，量子点初态的保真度随着演化时间发生剧烈变化，平均值约为0.3。如图 4(b)所示，在近共振的情况下，量子点的初态保真度随着时间的改变呈现周期性的变化规律。

② 平均光子数为100

从图 5 (a)可以看到，当环境处于相干态时，共振情况下，双量子点的崩塌与复苏现象与量子光学JC模型^[19]所展示的情况类似，其保真度的平均值约为0.28。如图 5 (b)所示，近共振情况下，保真度随时间的变化是一个衰减震荡的过程。

4) 热态环境

热态情况下，设置平均光子数分别为2、10、50，进行数值模拟，分析不同的平均光子数对双量子点初态保真度的影响。

① 平均光子数为2

从图 6(a)可以看出，当环境处于热态时，在共振情况下，量子点初态的保真度随着时间剧烈振荡，其振荡的范围始终在0.3附近。从图 6(b)可以看出，在近共振的情况下，量子点初态的保真度呈现周期性的变化规律，最低值可以近似趋近于0，最高值可以恢复到1。

② 平均光子数为10

由图 7(a)可以看出，当环境处于热态，在共振情况下，系统刚开始演化(gt约为1)时，量子点的初态保真度发生剧烈变化，并迅速降至0.29，之后保真度在0.29附近上下波动。如图 7(b)所示，当系统处于近共振的情况下，量子点的初态保真度的变化呈现周期震荡，其每一个周期的保真度平均值约为0.3。

③ 平均光子数为50

由图 8 (a)可以看出，共振情况下，随着时间的演化，量子点的初态保真度变化得越来越平缓，趋近0.28；近共振的情况下，F的峰值随着时间的演化会有一个下降趋势。

由图 6~8可以看出，随着热态中平均光子数的增加，共振情况下，量子点的初态保真度逐渐下降，直至趋于平衡，即退相干现象越来越明显。近共振情况下，特别是平均光子数由10增加到50时，可以看到双量子点的初态保真度的峰值有一个明显的下降。

5) 耗散场环境

由图 9(a)和9(b)可以看出，无论驱动场与量子点共振与否，都不影响保真度的变化。量子点初态保真度在gt=5左右时就急剧下降，然后慢慢地收敛至0.08左右。

6) 随机磁场环境

由图 10可以看出，当演化进行到gt=1左右时，量子点的初态保真度急剧下降至0.4附近，然后随着时间的演化在0.4附近波动变化，故由图 10可知，随机磁场导致了较为明显的退相干现象。

4 结论

综合前面6种情况下的模拟结果，可以得出以下结论：

1) 当环境处于真空态或者福克态时，近共振情况下，双量子点的初态保真度会形成一个周期性振荡。

2) 当环境为耗散场时，双量子点的初态保真度会逐渐降至最低，甚至可以达到0.08，双量子点的退相干现象非常明显，这与当前退相干理论非常吻合。

3) 给量子点施加随机磁场，可以看作是一种噪声，它会导致双量子点初态的退相干，而且效果比较明显。

4) 无论环境是相干态还是热态，当平均光子数达到一定的数目时，双量子点初态的退相干效果较明显。

致谢: 感谢武汉大学物理科学与技术学院张文献教授的有益讨论。