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  武汉大学学报·信息科学版  2018, Vol. 43 Issue (7): 1008-1014

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何永红, 朱建军, 靳鹏伟
HE Yonghong, ZHU Jianjun, JIN Pengwei
一种使用剪切波变换的干涉图滤波算法
An Interferogram Filtering Algorithm Using Shearlet Transform
武汉大学学报·信息科学版, 2018, 43(7): 1008-1014
Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2018, 43(7): 1008-1014
http://dx.doi.org/10.13203/j.whugis20160236

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收稿日期: 2017-03-20
一种使用剪切波变换的干涉图滤波算法
何永红1,2 , 朱建军2 , 靳鹏伟1     
1. 湖南科技学院土木与环境工程学院, 湖南 永州, 425199;
2. 中南大学地球科学与信息物理学院, 湖南 长沙, 410083
摘要:干涉图小波阈值法滤波未考虑干涉相位统计特性, 导致在低相干区域得到的滤波效果不能令人满意。针对这一问题, 提出了一种剪切波变换与干涉相位标准差相结合的相位滤波算法。该算法将干涉相位统计特性与剪切波阈值滤波结合起来, 利用相位标准差改正滤波阈值以提高滤波效果。此外, 为了评价干涉图的滤波效果并为实测数据选择合适的滤波方法提供参考, 将模拟干涉图解缠结果的局部均方差分布作为滤波质量评价指标。将此算法与Goldstein滤波、小波滤波、最优方向融合滤波和剪切波软阈值滤波进行比较, 结果表明所提算法能更有效地削弱干涉图噪声, 同时保留干涉图的细节信息, 避免了低相干地区弱滤波问题。
关键词干涉图     剪切波     InSAR     滤波    
An Interferogram Filtering Algorithm Using Shearlet Transform
HE Yonghong1,2, ZHU Jianjun2, JIN Pengwei1     
1. School of Civil and Environmental Engineering, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425199, China;
2. School of Geosciences and Info-physics, Central South University, Changsha 410083, China
First author: HE Yonghong, PhD, specializes in InSAR data processing and application.E-mail:heyonghong2004@163.com
Corresponding author: JIN Pengwei, lecturer.E-mail:jpw960@163.com
Foundation support: The National Natural Science Foundation of China, Nos.41531068, 41371335, 41671356;the Natural Science Foundation of Hunan Province, No.14JJ2131;the Science Research Key Project of the Education Department of Hunan Province, No.15A074;the Science Research Project of Hunan University of Science and Engineering, No.17XKY084
Abstract: In interferogram filtering, traditional threshold filtering algorithm based on wavelet transform does not consider the statistical properties of SAR's interference phase, and the filtering effect obtained in the low coherence regions is not satisfactory.This paper presents a kind of phase noise filtering algorithm combining the shearlet transform and standard deviation of phase.The algorithm uses the phase standard deviation to correct the filter threshold and improve the filtering effect.In addition, in order to evaluate the filtering effect and to select the appropriate filtering method for the measured data, a local mean square error distribution of the simulated interferogram is proposed as the filtering quality evaluation index.Compared with Goldstein filtering, wavelet filtering, optimal direction fusion filtering and shearlet soft threshold filtering, the results show that the proposed method can not only weaken the noise of interferogram, but also keep the details and avoid the weak filtering in low coherence regions.
Key words: interferogram     shearlet     InSAR     filter    

合成孔径雷达干涉测量(interferometric synthetic aperture radar, InSAR)利用雷达信号的相位信息提取地球表面的视线向形变, 能全天候、全天时地获取大面积地面的精确视线向形变, 空间分辨率高, 已在地震变形、火山运动、冰川漂移、城市沉降以及山体滑坡等方面表现出强大的技术优势和应用潜力[1-2]。由于合成孔径雷达(synthetic aperture radar, SAR)成像过程中的系统噪声、数据处理噪声、时间和基线去相干等影响, 导致干涉图中会出现大量噪声, 噪声的存在使干涉图的周期性、连续性受到影响, 干涉条纹不清晰, 从而影响相位解缠的精度[3-4]。因此在相位解缠前, 需要对干涉图的噪声加以抑制以提高干涉图的质量。

近年来小波变换理论被广泛应用到InSAR干涉图处理中。靳国旺等提出了矢量分离式小波软阈值滤波[5], 何儒云等对各个方向高频系数对应方向的边缘位置先平滑后中值滤波[6], Abdallah等提出了基于相干图的小波干涉相位滤波器[7], 范洪冬等将双树复小波用于干涉滤波[8], 去除了噪声, 保持了纹理信息。

尽管小波变换理论在InSAR图像处理领域得到了广泛应用, 但仍然存在两个问题:一是没有考虑InSAR的干涉相位统计特性, 只是简单地把自然图像小波滤波方法应用到SAR干涉图中; 二是小波变换不能最优地表示图像, 干涉图所包含的大量边缘、条纹等高维奇异性不能最优表示[9]。针对这两个问题, 本文提出了一种剪切波(Shearlet)变换与干涉相位标准差相结合的SAR干涉图滤波算法。Shearlet变换呈现出与传统小波变换不同的方向性特征[10], 其对图像的稀疏表示使Shearlet具有更好的局部化特性和很强的方向敏感性[11], 更能体现图像的方向信息, 因此利用Shearlet变换更有利于干涉图滤波。

本文在分析InSAR干涉相位统计特性的基础上, 利用数值积分方法生成不同视数的相位标准差矩阵[12], 根据给定的干涉图视数与相干值计算干涉相位标准差; 将干涉相位标准差与Shearlet软阈值滤波结合起来应用到InSAR去噪中, 并与经典的Goldstein滤波[13]、小波滤波、最优化方向融合滤波[14]以及传统Shearlet软阈值滤波作对比。此外, 为了更好地评价本文方法的滤波效果, 提出将模拟干涉图滤波前后解缠结果的局部均方差分布作为滤波质量评价指标, 定性评价干涉图的总体滤波效果。

1 剪切波变换及滤波方法 1.1 剪切波变换

剪切波变换具有良好的时频局部特性和极高的方向敏感特性, 是一种接近最优的多维函数稀疏表示方法。该变换具有与小波变换类似的简单数学结构, 可以通过对一个函数的伸缩、平移和旋转来产生其基函数。

对任意a>0和sR, Aa代表抛物型的缩放矩阵, Ss代表剪切矩阵。其中, ${\mathit{\boldsymbol{A}}_a} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} a&0\\ 0&{\sqrt a } \end{array}} \right]$, ${\mathit{\boldsymbol{S}}_s} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&s\\ 0&1 \end{array}} \right]$, 小波母函数ψL2(R2)且满足下列条件[15]:

1) $\hat \psi \left( \xi \right) = \hat \psi \left( {{\xi _1}, {\xi _2}} \right) = {{\hat \psi }_1}\left( {{\xi _1}} \right){{\hat \psi }_2}\left( {\frac{{{\xi _2}}}{{{\xi _1}}}} \right)$, 其中${\hat \psi }$ψ的傅里叶变换。

2) ψ1为连续小波, ${{\hat \psi }_1} \in {C^\infty }\left( {\bf{R}} \right)$, 且频域支撑${{\hat \psi }_1} \in \left[{-2, -\frac{1}{2}} \right] \cup \left[{\frac{1}{2}, 2} \right]$

3)ψ2为连续小波, ${{\hat \psi }_2} \in {C^\infty }\left( {\bf{R}} \right)$, 且频域支撑$\;{{\hat \psi }_2} \in \left[{-1, 1} \right]$; 在区间(-1, 1)上, $\;{{\hat \psi }_2} > 0$且‖ψ2‖=1。称由ψa, s, t(x)= ${\psi _{a, s, t}}\left( x \right) = {a^{-\frac{3}{4}}}\psi \left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_a^{-1}\mathit{\boldsymbol{S}}_s^{-1}\cdot\left( {x - t} \right)} \right)(a \in {{\bf{R}}^ + }, s \in {\bf{R}}, t \in {{\bf{R}}^2})$产生的系统为剪切波系统, ψa, s, t(x)即为剪切波, 则函数fL2(R2)的剪切波变换为Sψf(a, s, t)=〈f, ψa, s, t〉, 其中aR+, sR, tR2

剪切波变换是由尺度a、剪切s和平移t这3个变量构成的函数, 除了能够识别图像中的奇异性之外, 还能够提供奇异性的一些附加几何信息, 为图像中的线状奇异性和图像边缘提供最佳的表示方法。

1.2 Shearlet滤波方法

Shearlet多采用阈值法滤波[16], 常用的软阈值方法为:

$ {{\hat \omega }_{j, k}} = \left\{ \begin{array}{l} {\rm{sgn}}\left( {{\omega _{j, k}}} \right) \times \left( {\left| {{\omega _{j, k}}} \right|-T} \right), \left| {{\omega _{j, k}}} \right| \ge T\\ 0, {\omega _{j, k}} < T \end{array} \right. $ (1)

式中, ωj, k为原始小波系数; ${{\hat \omega }_{j, k}}$表示估计小波系数; T为阈值; sgn(ωj, k)为符号函数, 表明ωj, k的正负情况。

关于阈值的确定, Donoho提出小波阈值[16]:

$ T = {{\hat \sigma }_n} \times \sqrt {2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}N} $ (2)

式中, ${{\hat \sigma }_n}$为噪声标准差; N为图像信号的大小。

干涉相位经过Shearlet变换, 得到不同尺度、不同方向的变换域系数, 其将信号分解到不同的频带上; 随着频带的增加, 噪声信号的变换域系数被分配到不同的频带上, 且系数值非常小。故剪切波滤波采用式(3)的阈值具有更大的适应性:

$ T\left( {j, l} \right) = k{\varepsilon _{j, l}}{{\hat \sigma }_n} $ (3)

式中, T(j, l)为尺度j、方向l上的阈值; k为常数; εj, l为系数均方根; ${{\hat \sigma }_n}$为噪声标准差。

式(2)和式(3)中, 阈值的确定都需要知道噪声的方差, 而对于一幅具体的图像来说, 噪声标准差${{\hat \sigma }_n}$通常是未知的, 一般采用鲁棒性中值进行估计[16]。该估计是在正态高斯噪声模型下, 针对多维独立正态变量的联合分布, 在维数无穷时得出的结论, 被广泛用于SAR干涉图去噪中。虽然该算法在干涉图滤波方面效果不错, 但它没有结合干涉图的相位统计特性, 仅仅是粗略的估计, 在低相干区域得到的滤波效果不能令人满意[17]

2 改进的滤波算法及评价方法 2.1 干涉相位的统计特性

Tough和Franceschetti给出了相位标准差与相干系数和视数存在以下关系[18]:

$ \sigma _\varphi ^2\left( {\gamma, L} \right) = {\int_{-{\rm{ \mathsf{ π} }}}^{\rm{ \mathsf{ π} }} {\left( {\varphi-{\varphi _0}} \right)} ^2}F\left( {\varphi, \gamma, L, {\varphi _0}} \right){\rm{d}}\varphi $ (4)

式中, σφ2为相位方差; γ为相干系数; L为视数; φ为干涉图相位值; φ0为相位的期望值; F为相位概率密度函数, 公式为:

$ \begin{array}{l} F\left( {\varphi, \gamma, L, {\varphi _0}} \right) = \\ \frac{{{{\left( {1- {{\left| \gamma \right|}^2}} \right)}^L}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\left\{ {\frac{{\Gamma \left( {2L- 1} \right)}}{{{{\left[{\Gamma \left( L \right)} \right]}^2}{2^{2(L - 1)}}}}} \right. \times \left[{\frac{{\left( {2L-1} \right)\beta }}{{{{\left( {1-{\beta ^2}} \right)}^{L + 0.5}}}}\left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} + {\rm{arcsin}}\beta } \right) + \frac{1}{{{{\left( {1-{\beta ^2}} \right)}^L}}}} \right] + \\ \left. {\frac{1}{{2\left( {L -1} \right)}}\sum\limits_{i = 0}^{L -2} {\frac{{\Gamma \left( {L -0.5} \right)}}{{\Gamma \left( {L - 0.5 - i} \right)}}} \times \frac{{\Gamma \left( {L - 1 - i} \right)}}{{\Gamma \left( {L - 1} \right)}} \times \frac{{1 + \left( {2i + 1} \right){\beta ^2}}}{{{{(1 - {\beta ^2})}^{i + 2}}}}} \right\} \end{array} $ (5)

式中, β=|γ|cos(φ-φ0); Γ为Gamma函数。

图 1是采用数值分析方法依次计算L=1, 2, 5, 10, 20时(相干系数从0~1变化), 相位标准差与相干系数和视数的关系。从图 1可以看出, 相位标准差与相干系数和视数存在很大的关系, 即相干系数越大, 视数越高, 相位噪声越弱, 相位噪声是相干系数与视数的函数[19]。相位标准差能全面反映干涉相位噪声, 因此本文提出利用相位标准差改正滤波阈值。

图 1 相位标准差与相干系数及视数的关系 Figure 1 Phase Standard Deviation Versus Coherence and Look Number
2.2 改进的Shearlet滤波方法

本文结合干涉相位统计特性, 提出一种改进的Shearlet变换干涉相位图滤波方法。利用干涉图视数以及相干值, 采用数值分析方法生成相位标准差, 以确定干涉图滤波阈值。具体步骤为:

1) 根据不同的视数与相干系数, 通过数值计算得到不同视数的相位标准差查找表。

2) 利用待滤波干涉图的视数、相干系数与相位标准差查找表进行对照, 生成待滤波图像的相位标准差二维矩阵σ, 取${{\hat \sigma }_n}$=median(σ)作为阈值标准差, 其中median(·)为取中值函数。

3) 取干涉相位的实部和虚部分别进行Shearlet变换, 得到不同尺度和不同方向的变换域系数。本文取分解层数j=3。

4) 对不同尺度和方向上的变换系数按照式(1)进行软阈值滤波。阈值T(j, l)= $k{\varepsilon _{j, l}}{{\hat \sigma }_n}$, 其中k=3, 3, 4分别对应于j=1, 2, 3。

5) 对处理后的系数进行Shearlet逆变换, 得到去噪后的系数并生成干涉图。

2.3 提出的模拟干涉图滤波效果评价方法

本文提出利用滤波前后解缠结果的局部均方差分布作为滤波精度评价指标。传统方法通常采用残差点数量变化、相位差和值(sum of phase difference, SPD)、相位标准差(phase standard deviation, PSD)等指标来评价滤波效果, 这些方法是在相位解缠前对滤波效果进行评价, 其缺点是:在过滤波情况下, 却显示干涉图质量提高了(与真实情况相反)。因此本文采用相位解缠后的结果比较滤波效果, 具体做法为:

1) 对模拟未含噪干涉图与滤波后的干涉图分别进行相位解缠, 得到未含噪信号解缠结果与滤波后干涉图解缠结果。

2) 对未含噪信号解缠结果与滤波后干涉图解缠结果对应位置求差, 生成二维图。

3) 采用滑动窗口对二维图进行互不重叠分块处理, 得到每一分块的灰度方差, 即局部均方差。

4) 从局部均方差数值定量判断干涉图局部地区的滤波效果。

5) 对局部均方差结果进行频率直方图统计, 判断整体滤波效果。

3 实验结果及分析 3.1 模拟数据实验结果与分析

首先, 将本文算法与Goldstein滤波、最优化方向融合滤波[14]、Shearlet软阈值滤波[15](简称Shearlet滤波)、小波软阈值滤波[6](简称小波滤波)进行分析与比较。图 2(a)为模拟无噪相位图, 首先模拟出DEM, 再根据ERS1/2卫星成像几何参数和垂直基线长度模拟出未含噪相位图。其中, 相干图模拟考虑了雷达噪声的热噪声去相关、几何去相关、时间去相干等因素。图 2(b)为模拟含噪相位图, 根据相位噪声与视数及相干性的关系(见式(5)), 模拟出给定视数的相位噪声, 把模拟相位噪声和无噪相位相加, 生成相应视数的模拟含噪干涉图。从图 2(b)可以看出, 干涉图左上角和右下角含有大量噪声。在Goldstein滤波方法中, 根据经验, Goldstein一次滤波参数选取为0.5, Goldstein二次滤波参数为0.8, 滤波窗口大小为32×32像素。小波和Shearlet滤波采用鲁棒性中值确定标准差, 而本文算法用干涉相位统计特性确定标准差。

图 2 不同方法的模拟干涉图滤波结果比较 Figure 2 Comparison of Filtering Results of Simulated Interferogram by Different Methods

图 2(c)~2(h)分别为Goldstein一次滤波、Goldstein二次滤波、最优化方向融合滤波、小波滤波、Shearlet滤波和本文算法的滤波结果。从目视效果看, 在相干性强的地区, 即中部45°方向线上, 各方法均滤除了大部分噪声。但在相干性弱的局部地区, Goldstein一次滤波和Shearlet滤波效果不理想, 仍存在大量噪声, 滤波不均匀; Goldstein二次滤波条纹高度平滑, 存在过滤波现象, 丢失了更多的细节信息; 最优化方向融合滤波和小波滤波去噪效果较好, 噪声大量减少, 条纹清晰, 但在局部地区(如干涉图左上角矩形区域内)还存在明显的斑点噪声; 本文算法(图 2(h))整体去噪平滑, 且细节信息保持良好, 与图 2(e)2(f)相比, 条纹边缘信息保持得更好, 与真实值图 2(a)最为接近。

接下来, 采用本文算法对模拟数据的滤波效果进行评价。图 3横坐标是局部均方差, 纵坐标是局部均方差频率分布, 局部均方差分布越集中代表滤波效果越好; 反之, 代表滤波效果不均匀。Goldstein一次滤波(见图 3(a))和Shearlet滤波(见图 3(e))的局部均方差分布最分散, 说明整体滤波不均匀, 且存在大量噪声; Goldstein二次滤波(见图 3(b))较一次滤波分布集中, 但与小波滤波、最优化方向融合滤波和本文算法相比, 其分布较分散, 表示局部地区滤波结果与真值相差较大, 结合图 2(d), 说明Goldstein二次滤波存在过滤波, 细节信息保持不好; 图 3(c)中最优化方向融合滤波的均方差分布较为集中, 但局部地区均方差较大, 说明局部地区存在噪声, 滤波不均匀; 图 3(d)中小波滤波直方图分布较集中, 但局部均方差较大, 代表部分地区存在较大斑点噪声; 在现有模拟条件下, 滤波效果最好的是本文算法(见图 3(f)), 局部均方差分布最集中, 干涉图整体滤波效果较好, 去噪图像质量更接近于真实相位图。本文评价方法的评定结果与图 2的滤波效果是一致的, 局部均方差分布能较好评价干涉图的整体滤波效果, 并且能检验干涉图过滤波的问题, 因此可以作为评价模拟干涉图滤波方法的一种指标。

图 3 不同方法的模拟干涉图滤波结果评价直方图 Figure 3 Evaluation Histogram of Filtering Results of Simulated Interferogram by Different Methods

采用残差点数、相位差和值(SPD)、相位标准差(PSD)和均方根误差(root mean square, RMS)这几种指标定量评定滤波效果。从表 1可以看出, Shearlet滤波和Goldstein一次滤波由于噪声较多, 残差点减少率较低; 而最优化方向融合滤波、小波滤波、Goldstein二次滤波和本文算法的残差点减少率较高; 从RMS来看, 本文算法要明显优于其他算法; 从SPD和PSD来看, Goldstein二次滤波要优于其他方法, 但结合局部均方差分布来看, Goldstein二次滤波存在过滤波问题, 这说明尽管SPD和PSD最小, 但滤波效果并不是最优的。综合各种评价指标, 本文滤波算法最优, 为真实干涉图滤波方法的选择提供了参考。

表 1 不同方法的模拟干涉图滤波结果定量比较 Table 1 Quantative Comparison of Filtering Results of Simulated Interferogram by Different Methods
滤波方法 正残差点数 负残差点数 RMS SPD PSD
无噪相位图 0 0 - 1.137 1×105 1.217 5×105
含噪相位图 16 070 16 074 3.347 3 4.919 6×105 6.731 3×105
Goldstein一次滤波 2 867 2 870 1.371 5 2.588 6×105 3.389 5×105
Goldstein二次滤波 90 90 1.283 8 0.729 6×105 0.780 0×105
最优化方向融合滤波 341 343 1.146 8 1.279 3×105 1.454 6×105
小波滤波 358 356 1.219 6 1.305 6×105 1.366 2×105
Shearlet滤波 12 901 12 908 1.734 4 4.380 7×105 5.930 2×105
本文算法 54 59 1.070 8 0.864 6×105 0.866 9×105
3.2 实测数据验证

由§3.1可知, 在现有模拟条件下, 本文算法滤波效果最优。为验证其实际应用效果, 将本文算法用于意大利Etna火山地区实测数据, 该数据获取于2000年9月6日和10月11日, 垂直基线长305 m, 选取400×400像素的密集条纹区域进行对比分析。图 4显示了不同方法的滤波结果。从目视效果看, 在高相干地区, 各种方法均明显去除了噪声, 增强了边缘; 在低相干地区, Goldstein一次滤波和Shearlet滤波在局部地区(如干涉图中左下角)还存在大量明显噪声; 图 4(c)表明Goldstein二次滤波去除噪声的效果整体较为平滑, 但在低相干地区(如干涉图左下角)仍存在大量噪声, 而在高相干地区干涉条纹曲线过于光滑, 曲度与原图差异较大, 存在过滤波问题, 且在右上角还存在条纹断裂、不连续问题; 效果较好的最优化方向融合滤波和小波滤波去除了大部分噪声, 但在局部地区(如干涉图左下角)还存在一定噪声, 条纹信息湮没在噪声中; 从图 4(g)可以看出, 本文算法最大程度地消除了噪声, 保持了图像的主要特征, 图像纹理更清楚, 噪声抑制最明显, 尤其是在干涉图左下角, 表现出更好的去噪和边缘效果。表 2是对实测数据滤波结果的定量比较, 可以看出, 最优化方向融合滤波的残差点减少率达到了95.92%, 而本文算法的残差点减少率达到了98.27%。综合以上分析, 本文算法在各种评价指标中表现最优, 能够在保持干涉图细节的前提下, 对噪声进行有效抑制。

图 4 意大利Etna火山地区不同方法的干涉图滤波结果 Figure 4 Filtering Results of Interferogram over Etna Volcano in Italy by Different Methods
表 2 不同方法的实测干涉图滤波结果定量比较 Table 2 Quantative Comparison of Filtering Results of Measured Interferogram by Different Methods
滤波方法 正残差点数 负残差点数 残差减少率/% SPD PSD
原干涉图 8 376 8 365 - 2.377 0×105 3.267 8×105
Goldstein一次滤波 4 640 4 638 44.58 1.655 5×105 2.181 5×105
Goldstein二次滤波 1 689 1 686 79.84 1.044 7×105 1.234 2×105
最优化方向融合滤波 341 342 95.92 8.839 6×104 9.592 7×104
小波滤波 505 505 93.96 9.563 5×104 1.016 1×105
Shearlet滤波 7 284 7 273 13.05 2.165 3×105 2.932 5×105
本文算法 143 147 98.27 7.674 1×104 7.859 8×104
4 结语

本文提出了一种与干涉相位标准差相结合的Shearlet滤波算法, 将干涉相位统计特性引入阈值滤波算法中。实验结果表明, 该算法在去除噪声的同时, 相位和细节保持能力良好, 提高了滤波精度, 滤波效果均匀, 即使在低相干区域都达到了很好的滤波效果, 对InSAR干涉图相位解缠具有重要的应用价值。此外, 提出将模拟干涉图滤波前后解缠结果的局部均方差作为滤波质量评价指标, 实验表明局部均方差分布能反映干涉图的整体滤波效果, 能定性评价过滤波问题, 为实测数据选择合适的滤波方法提供了参考。

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